Le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$ est $\sup\{r\geq0, a_nr^n\to 0\}$.
Le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$ est $\sup\{r\geq0, (a_nr^n)\mbox{ bornée}\}$.
Si $(a_n)$ est bornée, alors le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$ est inférieur ou égal à $1$.
Si le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$ est $1$, alors $a_n\to 0$.
Si le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$ est $1$, alors la suite $(a_n)$ est bornée.
Si le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$ est $R>1$, alors $a_n\to 0$.
Si le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$ est $R$ et $z$ vérifie $|z|>R$, alors $|a_nz^n|\to +\infty$.
Si $(a_n)$ est réelle de limite $+\infty$, alors le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$ est $+\infty$.
Si $(a_n)$ est réelle et vérifie $\frac{a_n}{n}\to +\infty$, alors le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$ est $+\infty$.
Le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$ est $\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}$.
Le rayon de convergence de la série $\sum n^nz^n$ est $1$.
Le rayon de convergence de la série $\sum z^{2^n}$ est $1$.
Le rayon de convergence de la série $\sum (-1)^nz^n$ est $-1$.
Le rayon de convergence de la série $\sum \cos(n\pi/4)z^n$ avec $1$.
Le rayon de convergence de la série $\sum n!z^n$ avec $0$.
Le rayon de convergence de la série $\sum (2^{-n}+3^{-n})z^n$ est $3$.
Le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$ avec $a_n=1$ si $n$ est premier, $0$ sinon, est $1$.
Le rayon de convergence des séries $\sum a_nz^n$ et $\sum (-1)^na_nz^n$ sont identiques.
Le rayon de convergence des séries $\sum a_nz^n$ et $\sum |a_n|z^n$ sont identiques.
Le rayon de convergence des séries $\sum a_nz^n$ et $\sum (-1)^{n^2}a_nz^n$ sont identiques.
Le rayon de convergence des séries $\sum a_nz^n$ et $\sum a_{n+1}z^n$ sont identiques.
Le rayon de convergence des séries $\sum a_nz^n$ et $\sum na_{n}z^n$ sont identiques.
Le rayon de convergence des séries $\sum a_nz^n$ et $\sum b_{n}z^n$ avec $a_n\sim b_n$ sont identiques.
Si $R$ et $R'$ sont les rayons de convergence des séries $\sum a_nz^n$ et $\sum b_nz^n$ avec $a_n=o(b_n)$, alors $R>R'$.
Le rayon de convergence des séries $\sum a_nz^n$ et $\sum a_{2n}z^n$ sont identiques.
Si $R\in\mathbb{R}$ est le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$, alors le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^{2n}$ est $\sqrt{R}$.
Si $R\in\mathbb{R}$ est le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$, alors le rayon de convergence de la série $\sum a_n2^nz^{n}$ est $2R$.
Si $R$ et $R'$ sont les rayons de convergence des séries $\sum a_nz^n$ et $\sum b_nz^n$, alors le rayon de convergence de la série $\sum (a_n+b_n)z^n$ est $\max(R,R')$.
Si $R$ est le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$, alors il existe $z\in\mathbb{C}$ tel que $|z|=R$ et $\sum a_nz^n$ diverge.
Si $R$ est le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$, alors $x\mapsto \sum a_nx^n$ converge simplement sur $]-R,R[$.
Si $R$ est le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$, alors $x\mapsto \sum a_nx^n$ converge uniformément sur $]-R,R[$.
Si $R$ est le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$, alors $x\mapsto \sum a_nx^n$ converge uniformément sur $[0,\frac{R}{2}[$.
Si $R$ est le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$, alors $x\mapsto \sum a_nx^n$ est dérivable sur $]-R,R[$.
Une fonction de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ est développable en série entière.
Si, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $a_n\geq0$, la fonction $x\mapsto \sum a_nx^n$ est croissante sur son domaine de convergence.
Une fonction développable en série entière sur $]-r,r[$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $]-r,r[$.
La fonction $z\mapsto \exp(z)$ est développable en série entière sur $\mathbb{C}$.
La fonction $x\mapsto \ln(1+x)$ est développable en série entière sur $]-1,1[$.
La fonction $f:x\mapsto e^{-\frac{1}{x^2}}$ prolongée avec la valeur $f(0)=0$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}$.
La fonction $f:x\mapsto e^{-\frac{1}{x^2}}$ prolongée avec la valeur $f(0)=0$ est développable en série entière sur $]-1,1[$.
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\cos x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n}$.
La fonction $x\mapsto (1+x)^{\alpha}$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}$.
La fonction $x\mapsto (1+x)^{n}$ avec $n\in\mathbb{Z}$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}$.
La fonction $x\mapsto \frac{1}{2-x}$ est développable en série entière sur $]-2,2[$.
La fonction $x\mapsto \frac{1}{(2-x)(1+x)}$ est développable en série entière sur $]-2,2[$.
La fonction $x\mapsto \frac{1}{1+x^2}$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}$.
La somme de deux fonctions développables en série entière sur $]-r,r[$ est développable en série entière sur $]-r,r[$.
Le produit de deux fonctions développables en série entière sur $]-r,r[$ est développable en série entière sur $]-r,r[$.
Une fonction périodique n'est développable en série entière sur aucun intervalle de la forme $]-r,r[$ avec $r>0$.
Une fonction de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ dont toutes les dérivées sont bornées par une même constante est développable en série entière.